Періодичність цифрової реалізації логістичного рівняння. Частина II

Анотація

У статті розглянуто вплив обмеженої точності обчислень на динаміку дискретних хаотичних систем, які використовуються в криптографії. Основна увага приділяється тому, як арифметика з рухомою комою впливає на періодичність і деградацію хаотичних часових рядів. Показано, що обмеження точності обчислень можуть призвести до спрощення динаміки хаотичних систем, зокрема, до зменшення кількості можливих станів системи та, відповідно, до зниження надійності хаотичного шифрування. Зокрема, дослідження виявило, що використання арифметики з рухомою комою зумовлює деградацію динаміки хаотичної системи перетворюючи її на регулярну, або призводить до колапсу, коли виходом є постійне значення. Причиною цього є поєднання властивостей перемішування та стиснення фазового простору при обмеженій множині можливих значень стану системи, якою оперує обчислювальний пристрій: якщо різниця між траєкторіями системи на деякій ітерації стає меншою за машинний нуль, то такі траєкторії збігаються в одну. На прикладі логістичного відображення показано, що різні початкові умови та параметри призводять до виникнення циклів різної довжини. Аналогічно до арифметики з фіксованою комою, спостерігається переважання одного чи кількох циклів до яких прямує система з абсолютної більшості початкових умов. Для арифметики з рухомою комою встановлено, що максимальна довжина циклів не перевищує кілька десятків мільйонів ітерацій. Дослідження також показало, що порядок виконання арифметичних операцій і вибір методів з'єднання окремих хаотичних відображень у систему значно впливають на її динаміку. Система слабо з’єднаних логістичних рівнянь характеризується суттєвим зростанням періоду повторення. Проте такий спосіб збільшення тривалості циклів не гарантує відсутність коротких циклів чи колапсу системи. Крім того, неправильний вибір коефіцієнта з’єднання може призвести до синхронізації з’єднаних систем, коли зростання періоду у середньому відсутнє.