Періодичність цифрової реалізації логістичного рівняння. Частина І

Анотація

При переході до апаратно-програмної реалізації процесів на базі ЕОМ внаслідок зменшення множини можливих станів хаотичні системи втрачають «хаотичність», а їх реалізації є псевдохаотичними і циклічними. Відповідно це є особливо важливим при розробці нових додатків на базі нелінійних систем в галузі комунікацій та інформаційних технологій. Проблема періодичності хаотичних систем при програмній реалізації безпосередньо впливає на криптографічну стійкість та складність атаки грубої сили на хаотичні алгоритми шифрування. У роботі на прикладі логістичного рівняння вивчається періодичність псевдохаотичних реалізацій при обчисленнях з фіксованою комою.  Встановлено, що при  32-бітному представлені чисел (три біти - ціла частина, 29 біт - дробова частина)  максимальна довжина циклу, що спостерігався  становить L_(max )< 2^14 ітерацій, а простір  можливих станів хаотичної системи після завершення перехідного процесу обмежується S≈2^14 різних чисел. Побудовано гістограми тривалості перехідних процесів,  що передують виходу траєкторії на циклічну орбіту. Виявлено, що максимальні тривалості перехідного процесу не перевищують (2Lmax, 4Lmax). Також у роботі продемонстровано та обґрунтовано доцільність використання динамічного порогу при формуванні двійкових послідовностей на основі хаотичних чисел пороговим методом. Показано, що критерій збалансованості двійкового подання хаотичних послідовностей, уможливлює оптимальний вибір кількості старших біт які необхідно відкинути щоб отримати рівномірний розподіл. Проаналізовано підходи щодо збільшення періоду повторення цифрових реалізацій хаотичних систем. Показано, що період зовнішнього збурення  необхідно узгоджувати з  тривалостями циклів, що спостерігаються у хаотичній системі. Результати роботи показують обмеження хаотичних систем, що необхідно коректно враховувати при їх застосуванні в криптографії.